Günlük hayatımızı sürdürmek için logaritmaya pek ihtiyaç duymadığımızı düşünebiliriz. Ancak bugün bize yalnızca derslerde ezberlenen sıkıcı kurallar gibi görünen logaritma, teknolojinin henüz gelişmediği dönemlerde karmaşık hesaplamaları yapabilmenin en önemli araçlarından biriydi.
Başlangıçta logaritmalar, bir tür hesap tablosu olarak kullanılıyordu. Başka bir deyişle, logaritma ilkel bir hesap makinesi işlevi görüyordu. Çarpmayı toplama, bölmeyi çıkarma işlemine dönüştürüyordu. Hesap makinesi öncesi dönemde bu büyük bir avantajdı.
Bilim tarihinde nadiren, soyut bir matematiksel fikir tüm bilim dünyası tarafından logaritmaların icadı kadar coşkuyla karşılanmıştır. Üstelik bu keşfi yapan kişinin böylesine bir buluş gerçekleştirmesi pek de beklenmezdi. Bu kişinin adı John Napier’dı.
Logaritmayı Kim Buldu?
John Napier 1550 yılında, İskoçya’nın Edinburgh kenti yakınlarındaki Merchiston Şatosu’nda doğdu. On üç yaşında St. Andrews Üniversitesi’ne gönderildi ve burada din eğitimi aldı. Bir süre yurt dışında kaldıktan sonra 1571’de ülkesine döndü ve evlendi; bu evlilikten iki çocuğu oldu.
Eşinin ölümünden sonra ikinci evliliğini yaptı ve bu evlilikten on çocuğu daha dünyaya geldi. Bu evlilikten olan oğlu Robert, ileride babasının eserlerini düzenleyen kişi oldu. 1608 yılında babasının ölümünün ardından Napier, Merchiston’a geri döndü. Şatonun sekizinci lordu olarak yaşamının geri kalanını burada geçirdi.
Napier’in gençlik yılları, ileride göstereceği matematiksel yaratıcılığın pek de sinyallerini vermez. Onun asıl ilgisi matematikten çok din, daha doğrusu dini mücadeleydi. Koyu bir Protestan ve papalığın sert bir karşıtı olan Napier, görüşlerini 1593 yılında yayımladığı A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John adlı eserinde açıkça ortaya koydu. Bu kitapta Katolik Kilisesi’ne sert eleştiriler yöneltti.
Bununla birlikte Napier’in ilgi alanları dinle sınırlı değildi. Bir toprak sahibi olarak tarım verimliliğini artırmaya çalıştı; toprağı zenginleştirmek için çeşitli gübreler ve tuzlar denedi. 1579 yılında kömür madenlerindeki su seviyesini kontrol etmek için hidrolik bir vida sistemi geliştirdi.
Ancak onun adını tarihe kazıyan şey ne çok satan kitabı ne de icatlarıdır. Asıl kalıcı olan, geliştirmesi yirmi yıl süren soyut bir matematiksel fikir olan logaritmadır.
16. yüzyıl ve 17. yüzyılın başları, bilimin hemen her alanında büyük bir genişlemeye sahne oldu. Coğrafya, fizik ve astronomi, antik dogmalardan kurtularak insanın evrene bakışını kökten değiştirdi. Kopernik’in Güneş merkezli sistemi kabul görmeye başladı.
Magellan’ın 1521’de dünyayı dolaşması, deniz keşiflerinde yeni bir çağın başlangıcını işaret etti. 1569’da Gerhard Mercator’un yayımladığı ünlü dünya haritası, denizcilik ve navigasyon üzerinde belirleyici bir etki yarattı. İtalya’da Galileo Galilei mekaniğin temellerini atarken, Almanya’da Johannes Kepler gezegen hareketlerine ilişkin üç yasayı ortaya koydu.
Logaritmaya Neden İhtiyaç Duyuldu?
Bu gelişmeler, giderek artan miktarda sayısal veri üretti ve bilim insanlarını uzun ve yorucu hesaplamalar yapmak zorunda bıraktı. Dönem, bu yükü ortadan kaldıracak bir buluşu adeta zorunlu kılıyordu. Napier bu ihtiyaca cevap verdi.
Napier’in bu fikre nasıl ulaştığına dair elimizde kesin bir bilgi yoktur. Ancak trigonometriye oldukça hâkimdi ve şu formülü büyük olasılıkla biliyordu:
Bu ve benzeri formüller, Yunanca “toplama ve çıkarma” anlamına gelen prosthaphaeresis kuralları olarak biliniyordu. Bu kurallar önemliydi. Çünkü iki trigonometrik ifadenin çarpımı, toplama gibi daha basit işlemlere dönüşüyordu.. Muhtemelen Napier’i doğru yola yönlendiren fikirlerden biri de buydu.
Daha basit bir başka fikir ise geometrik dizilerle ilgilidir. Geometrik dizi, ardışık terimleri arasında sabit bir oran bulunan sayı dizisidir. Örneğin 1, 2, 4, 8, 16… dizisi, ortak oranı 2 olan bir geometrik dizidir. Bu oranı q ile gösterirsek, dizinin terimleri 1, q, q², q³ şeklinde devam eder (n’inci terim qⁿ⁻¹ olur).
Napier’den çok önce, bu diziler ile üsler arasında basit bir ilişki olduğu biliniyordu. Alman matematikçi Michael Stifel, 1544 yılında yayımladığı Arithmetica Integra adlı eserinde bu ilişkiyi açıkça ifade etti:
Geometrik dizide iki terimi çarptığınızda, bu işlem üsleri toplamakla aynı sonucu verir. Örneğin:
q² · q³ = q⁵ biçimindedir. Çünkü üsler toplanır (2 + 3 = 5). Benzer şekilde, bir terimi diğerine böldüğünüzde üsler çıkarılır ve q⁵ / q³ = q² olur.
Logaritmaya Ne İşe Yarar?
Bu basit kurallar, daha sonra logaritma fikrinin temelini oluşturacaktır. Napier’in düşüncesi şu şekildeydi: Eğer her pozitif sayıyı sabit bir sayının (yani tabanın) kuvveti olarak yazabilirsek, çarpma ve bölme işlemlerini üslerin toplanması ve çıkarılması olarak ifade edebiliriz. Aynı şekilde, bir sayıyı n’inci kuvvete yükseltmek, üssü n kez toplamak anlamına gelir; n’inci dereceden kök almak ise üssü n’e bölmek demektir.
Kısacası, karmaşık aritmetik işlemler daha basit işlemlere indirgenebilir. Bu yaklaşım, uzun ve zahmetli hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırır.
Bu fikrin nasıl çalıştığını görmek için taban olarak 2 sayısını seçelim. Örneğin 32 ile 128’i çarpmak istediğimizi düşünelim. Bu sayıların üslerini buluruz: 32 = 2⁵ ve 128 = 2⁷. Üsleri topladığımızda 5 + 7 = 12 elde ederiz. Ardından tersine gideriz: 2¹² = 4096. Sonuç budur.
Benzer şekilde 4⁵ işlemini ele alalım. 4 sayısını 2² olarak yazabiliriz. Bu durumda üs 2’dir ve bunu 5 ile çarparız: 2 × 5 = 10. Sonuçta 2¹⁰ = 1024 elde ederiz. Nitekim 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰ = 1024’tür.
Ancak bu yöntem yalnızca tam sayılarla çalışıyorsa çok da gerekli görünmez. Asıl değerli olması için tüm sayılarla çalışabilmesi gerekir. Bunun için tabloda eksik kalan değerleri doldurmak gerekir. Bunu yapmanın iki yolu vardır:
- Kesirli üsler kullanmak
- Ya da tabanı 1’e yakın bir sayı seçmek
Kesirli üsler Napier’in döneminde tam olarak bilinmiyordu. Bu yüzden ikinci yolu tercih etmek zorunda kaldı. Ancak taban çok küçük seçilirse bu kez sayılar çok yavaş büyür ve sistem pratik olmaktan çıkar. Bu nedenle Napier, uzun denemelerden sonra 1’e çok yakın bir sayı seçti: 0,9999999 (yani 1 − 10⁻⁷)
Napier neden özellikle bu yöntemi seçti?
Bunun nedeni, ondalık sayıları mümkün olduğunca az kullanmak istemesiydi. Ondalık kesirler o dönemde Avrupa’da henüz yeni yayılıyordu ve insanlar bu gösterime pek alışık değildi. Bu yüzden Napier, bugün bir kilometreyi metreye bölmemiz gibi, bir birimi çok sayıda küçük parçaya ayırmayı tercih etti.
Bu amaçla birimi 10 milyon parçaya böldü. Böylece 1’den çok küçük bir miktar çıkararak 0,9999999 gibi 1’e çok yakın bir sayı elde etti. İşte bu sayı, onun tablolarında kullandığı temel oran oldu.
Ardından Napier son derece sabır gerektiren bir işe girişti: Bu sayıyı tekrar tekrar kullanarak uzun bir sayı listesi oluşturdu. Her adımda bir önceki sayıdan çok küçük bir miktar çıkararak ilerledi. Napier bu tabloyu tamamlamak için yaklaşık 20 yıl harcadı.
İlk tabloda 10.000.000’dan başladı ve sayıları yavaş yavaş azalttı. Daha sonra aynı yöntemi farklı oranlarla tekrar ederek yeni tablolar oluşturdu. Bu sayede farklı aralıklar için daha hassas sonuçlar elde etti.
Sonunda bu yeni yönteme bir isim vermesi gerekiyordu. Başta “yapay sayı” gibi bir ifade kullansa da, daha sonra logaritma adını seçti. Bu kelime “oran sayısı” anlamına gelir.
Napier, buluşunu 1614 yılında Latince kaleme aldığı Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Harika Logaritma Cetvelinin Tanımı) adlı eserinde yayımladı. Daha sonra, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (Harika Logaritma Cetvelinin İnşası) adlı çalışması, oğlu Robert tarafından 1619 yılında ölümünden sonra basıldı.
Bilim tarihinde nadiren bir fikir bu kadar büyük bir heyecanla karşılanmıştır. Napier’in buluşu kısa sürede geniş övgü topladı. Logaritmaları ilk kullananlardan biri de astronom Johannes Kepler’di. Kepler, gezegen yörüngeleri üzerine yaptığı karmaşık hesaplamalarda bu yöntemi büyük başarıyla uyguladı.
Doğal Logaritma Nedir?
Henry Briggs (1561–1631), Londra’daki Gresham College’da geometri profesörüyken Napier’in tablolarından haberdar oldu. Bu yeni buluştan öylesine etkilendi ki, İskoçya’ya gidip Napier ile bizzat tanışmaya karar verdi.
Bu buluşmanın ardından Briggs, Napier’in tablolarını daha kullanışlı hâle getirecek iki önemli değişiklik önerdi: Logaritması 0 olan sayının 10⁷ yerine 1 olması ve 10’un logaritmasının 1’e eşitlenmesi. Yani bir sayı N=10L şeklinde yazılabiliyorsa, L o sayının logaritması olacaktı. Böylece bugün “10 tabanında logaritma” dediğimiz kavram ortaya çıktı.
Napier bu önerileri kabul etti, ancak yaşı ilerlediği için yeni tabloları hesaplayacak enerjiyi bulamadı. Bu görevi Briggs üstlendi ve 1624 yılında Arithmetica Logarithmica adlı eserini yayımladı.
Bu tablolar, 1’den 20.000’e ve 90.000’den 100.000’e kadar olan sayıların logaritmalarını 14 basamak hassasiyetle içeriyordu. Bu çalışma, küçük düzenlemeler dışında yüzyıllar boyunca kullanılan logaritma tablolarının temelini oluşturdu.
Sonuç Olarak
Napier yalnızca logaritmalarla sınırlı kalmadı. “Napier çubukları” adı verilen bir hesaplama aracı geliştirdi, küresel trigonometri için bazı kurallar ortaya koydu ve ondalık ayırıcı kullanımını yaygınlaştırdı. Ancak bu katkıların hiçbiri logaritmanın önemiyle kıyaslanamaz.
1914 yılında, logaritmanın icadının 300. yılı anısına düzenlenen etkinlikte Lord Moulton, Napier için şöyle dedi: “Logaritmanın icadı adeta gökten düşen bir yıldırım gibiydi. Öncesinde onu işaret eden ya da hazırlayan hiçbir çalışma yoktu. Bir anda ortaya çıktı ve insan düşüncesine yeni bir yön verdi.”
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- What Are Logarithms? Yayınlanma tarihi: 22 Mayıs 2015. Kaynak site: Live Science.. Bağlantı: What Are Logarithms?
- The making of the logarithm; yayınlanma tarihi: 14 mart 2014; Kaynak site: Plus math. Bağlantı: The making of the logarithm
